Математик Юхан Ару объясняет: почему коронавирус так опасен?

Тест на коронавирус в Эстонии можно сделать только при возникновении симптомов. Фото: Shutterstock

Распространение коронавируса подчинено математически известным формулам экспоненциального роста в такой чистой форме, что это сразу вызывает беспокойство. Как математика отражает распространение пандемии, на страницах Postimees пишет математик Юхан Ару.

С веб-сайта Университета Джона Хопкинса любой может загрузить необработанные данные о распространении коронавируса в разных странах, распечатать их в Excel и заставить программу нарисовать несколько графиков:

Ось Y на рисунке представляет собой количество зарегистрированных событий, а каждая точка на оси X  означает новый день. В Италии болезнь развивается быстрыми темпами, но есть ли что-нибудь еще спокойное? Отметим, что в Италии рост новых случаев сначала был медленным, а затем резко ускорился. Но насколько быстрым он станет? И стоит ли ожидать такого же поведения в другом месте? Если сегодня будет десять случаев, сколько будет через десять дней? Сколько будет зараженных через двадцать дней? Это расчеты, по которым которые органы здравоохранения ежедневно следят за эпидемиями.

Давайте подумаем о распространении вируса, выдвинем несколько гипотез и затем вернемся к тем же графикам. Как распространяется вирус? Кто-то заражается и непреднамеренно заражает других - возможно, случайно кашляя на них или касаясь их лиц.

Одним из распространенных способов описания распространения вируса является дерево заражения: мы рисуем дерево в корне первого заболевания, где каждый узел представляет собой одного зараженного, а ветви, начинающиеся из одного и того же узла, описывают заразившихся от одного и того же человека. Распространение инфекции затем описывается эволюцией этого дерева.

Предположим, во-первых, что каждый зараженный человек передает вирус ровно одному человеку, например, в течение одного дня. Эта схема проиллюстрирована на рисунке 2 слева - через 3 дня - 3 пациента, через 10 дней 10 пациентов, через 100 дней - 100 пациентов.

С другой стороны, предположим, что каждый зараженный человек передает вирус ровно двум людям, и снова в течение трех дней. Это показано деревом справа на рисунке 2 - через 3 дня 1 + 2 + 2 * 2 + 2 * 2 * 2 = 15 зараженных, через 10 дней - 2047, а через 100 дней - уже 10 в 30-й степени!

Фото: Juhan Aru

Такой космический рост описывается экспоненциальной функцией N (x) = R0x. Связь между передачей заболевания и экспоненциальной функцией была хорошо известна в течение почти ста лет и была тщательно изучена. Давайте посмотрим на пример, где R0 = 2 или N (X) = R0x. 

Если в 1-й день заражен один человек, то на следующий день уже есть 2 новых инфицированных и через 10 дней - около 1000. Хотя в реальной жизни распространение вируса происходит не так строго - иногда заражается один новый человек, иногда 2, иногда 17, а, кроме того, люди выздоравливают и со временем приобретают иммунитет - рост распространения вируса все-таки описывается экспоненциальной функцией.

Другими словами, в начальной фазе почти каждого заболевания, в день N, мы можем описать число новых заболевших в виде R0N, а R0 - это реальное число, которое описывает распространение заболевания и называется базовой скоростью размножения заболевания. Число R0 можно интерпретировать следующим образом: если в день N число заболевших равно K, то в день N + 1 число заболевших приблизительно равно K * R0, принимая во внимание как новую заболеваемость, так и выздоровление. Если R0 больше единицы, заболеваемость будет больше, чем уровень выздоровления, и болезнь будет распространяться в геометрической прогрессии, как показано на рисунке 2 деревом справа. Когда R0 = 1, ситуация достаточно стабильна, что описывается деревом слева. Когда R0 <1, количество пациентов начинает уменьшаться.

Теперь мы нашли упрощенную модель распространения вируса. Но как это соответствует реальности? Давайте еще раз посмотрим на начало статьи, но на этот раз высота строки будет означать не число заболевших, а его логарифм, то есть каждая точка представляет число M, где 2M = количество случаев заболевания. Если рост действительно экспоненциальный, линия должна быть довольно красивой и прямой - действительно, если мы возьмем логарифм экспоненциальной функции R0x, то это будет просто прямая линия x * log R0. Более того, прямой наклон дает нам значение постоянной воспроизведения R0. Теперь давайте посмотрим на этот новый рисунок:

Из диаграммы видно, что на самом деле все кривые напоминают рисованную прямую линию - есть маленькие искривления, но общее направление четкое и прямое. Таким образом, можно сделать вывод, что во всех описанных странах число случаев увеличивается в геометрической прогрессии. Более того, мы замечаем, что эти линии параллельны, то есть их наклоны более или менее одинаковы. Это означает, что заболевание распространяется одинаково во всех этих странах с довольно сопоставимой скоростью.

Более внимательно взглянув на цифры и графики, мы видим, что число случаев удваивается примерно за три дня, поэтому следующая упрощенная модель довольно точно описывает рост заболевания во всех странах: если 1 день - 1 больной, то 3N дней - около 2 {N} больных. Например, если бы то же самое произошло в Эстонии и распространение вируса не было бы остановлено, к концу марта было бы около 250 пациентов, к 10 апреля - 1000, к 20 апреля - примерно на 10 000, к концу апреля - 100 00, а с продолжением эпидемии теми же темпами к 10 мая в стране был бы уже миллион заболевших.

Конечно, в точности так не произойдет. На самом деле, распространение вируса замедляется само по себе. А именно, те, кто уже заражен, не могут быть повторно заражены, и поэтому вероятность заражения снижается; к тому же, как правило, принимаются более строгие новые меры по ограничению распространения, что опять же сдерживает распространение.

Например, снова посмотрев на рисунок 3, мы обнаружим, что в последние дни в линии, описывающей Южную Корею, наблюдается небольшой сдвиг - прямая линия изгибается, а экспоненциальный рост замедляется. Причина проста - некоторое время назад были приняты более строгие меры по снижению передачи заболевания, скорость размножения R0 начала снижаться, приблизившись к критическому значению 1, и экспоненциальный рост постепенно замедлился. В Италии строгие меры были начаты несколько дней назад, и, вероятно, экспоненциальный рост там тоже начнет замедляться.

Математику приятно видеть такой чистый экспоненциальный рост, но он создает и повод для беспокойства: известно, что коронавирус может убить примерно 2-3 процента пострадавших. Согласно текущим данным, молодых людей это не особо беспокоит, их процент все еще примерно в 10 раз ниже, но уже существует серьезный риск для тех, кто старше или в группе риска. Прежде всего, это становится угрозой, когда система медицинских услуг становится перегруженной. Мы уже видели, как это происходит в Италии, хотя общее количество пациентов может показаться не таким большим.

Может ли это случиться в другом месте? На первом графике все выглядит так, будто Испания, Франция, Германия, все еще находятся в хорошем положении. Но из второго графика мы видим, что вирус распространяется в этих странах так же быстро - развитие всего на десять дней отстает от Италии. Мы можем надеяться, что в других странах будет лучше, но если базовый коэффициент воспроизводства R0 не уменьшится, все может довольно быстро усложниться. Это особенность экспоненциального роста - сначала все кажется медленно развивающимся, но внезапно число случаев начинает удваиваться каждые три дня. 

Подведем итог: коронавирус и его быстрое распространение описываются красивыми экспоненциальными кривыми, к которым следует относиться серьезно. Этот вирус не является проблемой отдельного человека, это общая проблема общества в целом, и мы можем справиться с ним только вместе. На примере Южной Кореи - или, что еще лучше, Сингапура - где жесткие меры по существу не привели к экспоненциальному росту: мы видим, что распространение вируса можно замедлить, если мы все примем небольшие изменения и ограничения в нашей повседневной жизни. Таким образом, мы все можем защитить группу риска и фактически сохранить здоровье общества и экономики в целом. Чем позже мы начнем действовать, тем более строгие меры потребуются - за каждые три дня больных становится в два раза больше. 

Итак - давайте начнем прямо сейчас, чтобы наклонить эту константу роста коронавируса вниз!