Площадь клумбы и парабола на салфетке

Историческая салфетка с «кривой Лаффера». Фото: Vikimedia.com

В июне СМИ обрадовали нас новостью о том, что каждый третий (!) из выпускников девятого класса провалил выпускной экзамен по математике.

Кое-где срезалась аж половина экзаменуемых. Наибольшие затруднения вызвала задача, в которой надо было рассчитать площадь клумбы, – учителя говорили потом, что ход решения был непонятен ученикам совершенно. Вот эта задача:

В парке построили цветочную клумбу, в середине которой квадрат, диагональ которого составляет 4 метра. От каждого края квадрата отходит полукруг.

1. Вычислите площадь клумбы.

2. На диагональ квадратной части клумбы высадили подсолнухи. Сколько подсолнухов можно посадить, если между растениями должно оставаться 25 сантиметров, а первый подсолнух посадили на угол квадрата.

Прилагалась и схема, которую мы опустим – описание клумбы в тексте приведено исчерпывающее. Правда, хорошо бы его подправить: не «построили», а «разбили», и не «края» квадрата, а «стороны» – у плоских геометрических фигур есть стороны и углы. Может, именно «край» сбил кого-то с пути истинного?

Элементарно, Ватсон

Задача эта, прямо скажем, решается за минуту и в уме. Во всяком случае, когда я учился в школе (конец 1980-х и начало 1990-х), такие задачи считались устными. Здесь не нужны сложные формулы – достаточно двух элементарных: знаменитой «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» (теорема Пифагора о соотношении длин сторон прямоугольного треугольника) и «пи эр квадрат» (площадь круга; «пи» – число, приближенно равное 3,14, «эр» – радиус). Всё.

Начнем со второго задания, совсем смешного. Длина диагонали квадрата, столь уныло засаженной подсолнухами, – 4 метра, или 400 сантиметров; 400 разделить на 25 равно 16, однако это подсолнухи, которые сажают начиная с первых 25 сантиметров (в точках 25, 50, 75... 375, 400 см) – плюс еще одно растение на углу квадрата, в точке 0. Итого – 17 цветов.

Теперь первое задание. Ясно, что площадь клумбы складывается из площадей квадрата и четырех полукругов (на каждой стороне), они же – два круга. Первым делом разберемся с квадратом.

Диагональ длиной 4 метра разбивает наш квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника и является для каждого из них гипотенузой, а стороны квадрата – катетами, и катеты эти по свойству сторон квадрата равны. Нам нужно найти длину катета, он же сторона квадрата; достаточно возвести ее в квадрат, чтобы получить искомую площадь.

Теорема Пифагора говорит нам, что катеты А и Б и гипотенуза Ц прямоугольного треугольника связаны формулой «А в квадрате плюс Б в квадрате равно Ц в квадрате». У нас А и Б равны, то есть «два А в квадрате равно Ц в квадрате». Тут можно схитрить, вспомнив, что ищем-то мы именно «А в квадрате» – площадь квадрата. Как следует из формулы, две такие площади равны «Ц в квадрате», а одна площадь – половина от этого числа. «Ц в квадрате» – длина гипотенузы/диагонали, помноженная сама на себя: четырежды четыре равно 16. Значит, площадь квадрата равна 8. Длина стороны квадрата – корень квадратный из восьми, ну или два квадратных корня из двух.

Запомним эти немудреные результаты и перейдем теперь к кругам. Площадь круга – это число «пи», помноженное на радиус в квадрате. Радиус у нас – половина стороны квадрата, а она равна «двум корням квадратным из двух»; значит, радиус – это корень квадратный из двух. Подставим это значение в формулу: «эр квадрат» равно 2, площадь одного круга – «два пи». Двух кругов – «четыре пи». В сумме с квадратом – «четыре пи плюс восемь».

Осталось помножить в уме 3,14 на четыре (12,56) и прибавить 8. Итого площадь клумбы – 20,56 кв.м. В математической записи все эти рассуждения записываются тремя-четырьмя короткими строчками. Кстати, верными ответами считались и 20,6, и 21 – условия экзамена позволяли округлять результат до целых, что, конечно, не комильфо, но ладно уж.

К социальной беспомощности

Для чего я все это написал? Для того, чтобы показать, что задача и правда элементарная, и если треть учеников Эстонии не в состоянии с ней справиться, ждать от них чего-то большего невозможно. С учетом того, что многие умные юноши и девушки благополучно сваливают отсюда в более приличные страны, означенная треть в грядущем рискует превратиться как бы не в половину населения. И вот это уже страшно. Очень страшно.

Буквоеды скажут, что в предыдущем абзаце пропущены два слова: не просто «ждать большего», а «в математике». Но я скажу, что пропущены они сознательно. Понимание математики в столь простой и в то же время практичной (клумбы, цветочки) форме отражает, прошу извинить, уровень логического мышления индивида. Это элементарные упражнения на память (две простейшие формулы, и обе, как говорится, «не бином Ньютона»), на устный счет, на то, видите ли вы логические связи и осознаете ли относительность языка (описания) и абсолютность сути (смысла). Возьмите связь между квадратом и двумя треугольниками: при переходе от одной модели к другой терминология меняется, диагональ превращается в гипотенузу, сторона – в катет, но суть-то остается прежней. Это та же самая фигура, только увиденная по-другому.

Не секрет, что чем лучше у вас с элементарной математикой, тем больше вы видите логических связей в окружающем мире – и тем сложнее вас обдурить. Именно элементарной. Разумеется, математикой тут не ограничишься; не зря есть хрестоматийный образ рассеянного математика, который всё знает про ядро гомоморфизма, но так застрял в математических облаках, что не способен пожарить яичницу.

Математики говорят, что есть условия необходимые и достаточные. Понимание математики на уровне данной задачи – это условие, необходимое для того, чтобы политики не провели вас на популистской мякине, предложив проголосовать за программу, в которой концы не сходятся с концами. Тот, кто не решает такие задачи, не способен увидеть нестыковки в более сложных схемах, системах, процессах – особенно если нестыковки эти замаскированы пиарщиками, привыкшими, что «пипл хавает».

Гуманитарные знания тут не спасают. Знание языков или цитирование поэтов логики не прибавляют. Первое способствует общению, второе – имиджу в обществе и тонкости чувств, наконец, то и другое сильно помогает, если с математикой у вас все в порядке: читая на иностранных языках, вы получаете больше информации, литература отвечает за психологию и мораль, которые, я признаю, в личных отношениях иногда важнее логики. Но все это не дает навыка распознать ложь на экономическом, а следовательно, политическом уровне. Люди без понимания элементарной математики беспомощны как избиратели, как – вспомним определение Аристотеля – «социальные животные». Ровно по пословице «дурак хуже предателя».

Когда эдакое большинство идет на выборы, жди у кормила тех, кто обещает с три короба ради теплых местечек и больших зарплат-пенсий. Когда оно появляется в правительстве... Тут вспоминается казус с кривой Лаффера.

Рамсфелд, Чейни и здравый смысл

Есть такой американский экономист Артур Лаффер с идеей-фикс: чем меньше налогов платят люди, особенно богатые, тем лучше. В 1974 году Лаффер встретился с главой президентской администрации Дональдом Рамсфелдом (тем самым, что развязал потом катастрофическую войну в Ираке) и его замом Диком Чейни – и убедил обоих в том, что налоги нужно снижать: чем они выше, тем-де больше стимул от них уклониться.

В этой идее есть здравое зерно (арабский ученый ибн Хальдун дошел до нее еще в XIV веке): здравый смысл подсказывает, что если ставка налога – 100 процентов, казна получит ноль целых фиг десятых (и революцию в придачу). Конечно, чем выше налоговые ставки, тем больше усилий прикладывают люди, чтобы не платить. Лаффер предложил простой принцип: если ставку снизить, налоговых денег будет больше, а не меньше, потому что от уплаты налогов меньше будут уклоняться.

Однако тот же здравый смысл подсказывает: если от налогов никто особо не уклоняется, а ставки невысоки (15-25 процентов, если говорить о подоходном налоге и налоге на прибыль), их понижение приведет не к увеличению, а к уменьшению налоговых поступлений. Форма кривой, которая отражает поведение налогоплательщиков (точнее, зависимость поступлений от ставки налога) неочевидна, она может быть разной для разных стран. Лаффер представил свою знаменитую кривую в виде параболы, начертанной на салфетке. Видимо, Рамсфелда и Чейни с их не очень математическим образованием парабола впечатлила, как Моисея впечатлили заповеди, начертанные Богом на каменных скрижалях. Полюбоваться фотографией исторической салфетки с безыскусной параболой каждый может в Сети.

Но, согласитесь, идея и на елку влезть, и зад не ободрать, то есть снизить налоги и получить больше денег, привлекательна. Кривая Лаффера стала частью экономической мифологии, созданной в 1980-е Рональдом Рейганом и Маргарет Тэтчер (тоже крайне далеких от математики). А когда Рейган снизил налоги, причем на богатых (верхняя планка снижалась, нижняя повышалась), оказалось, что метод не работает. Поступления в бюджет стали меньше, США были вынуждены занимать, и их внешний долг увеличился при Рейгане в три раза. То же наблюдалось и в 2001-2003 годах, когда налоги снижал Буш-младший. Поклонники Лаффера, конечно, сказали, что не те налоги снижались, а так все верно, но факт остается фактом: теория опровергнута практикой. Само собой, никакой серьезной математики за ней нет. Если бы Рамсфелд и Чейни, Рейган и Тэтчет это поняли, может, мы жили бы в мире получше этого.

Я не знаю, что нужно делать, чтобы задачу про клумбу решали 99 процентов учеников. Видимо, дело тут и в программах, и в учителях, и в финансировании; Минобр должен бы разобраться, в чем именно, и ответить перед страной за результаты экзамена. Но я знаю, что если так пойдет и дальше, эпоха политической глупости продолжится – и засевшая наверху безмозглая бессовестная дрянь будет вечно вешать большинству лапшу на уши.